СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512429

а) Из­вест­но, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 вза­им­но про­сты­ми?

б) Най­ди­те четырёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на  131 даёт в остат­ке 112, а при де­ле­нии на 132 даёт в остат­ке 98.

в)  Най­ди­те все числа вида ко­то­рые де­ли­лись бы на 132.

Ре­ше­ние.

а) Будем поль­зо­вать­ся таким фак­том: НОД(a,b)=НОД(a-b,b) для любых раз­лич­ных на­ту­раль­ных а и b. Это ясно, так как с одной сто­ро­ны число a-b де­лит­ся на все общие де­ли­те­ли чисел а и b, а с дру­гой сто­ро­ны, если бы числа а-b и b имели бы больший общий де­ли­тель, чем НОД(a,b), то и число а имело бы такой же де­ли­тель.

Ис­поль­зуя вы­ше­упо­мя­ну­тый факт, и за­ме­тив, что b не­чет­но, по­лу­ча­ем: По­след­нее ра­вен­ство верно, так как числа и при не­чет­ном b вза­им­но про­сты. Далее рас­смот­рим тож­де­ство Зна­чит, если и имеют общий де­ли­тель, боль­ший еди­ни­цы, то это может быть толь­ко трой­ка. Од­на­ко, де­лит­ся на 3 (2013 де­лит­ся на 3), зна­чит, не крат­но 3. Таким об­ра­зом,

б) Ис­ко­мое число можно за­пи­сать как и как , где x,y - не­ко­то­рые на­ту­раль­ные числа. Зна­чит, , от­сю­да Возь­мем Тогда число удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. Ис­кать все такие числа в за­да­че не тре­бо­ва­лось.

в) За­ме­тим, что , зна­чит, ис­ко­мое число долж­но де­лить­ся на 3, 4 и 11. Если наше число де­лит­ся на 4, то z=2 или z=6. Раз­бе­рем эти слу­чаи.

1) z=2. Тогда из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что x+y+11 де­лит­ся на 3, а из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 11 по­лу­ча­ем, что x-y+7 де­лит­ся на 11. То есть, x+y может рав­нять­ся 1,4,7,10,13,16, а x-y может рав­нять­ся -7 или 4. Под­хо­дят толь­ко такие ва­ри­ан­ты: x=4,y=0; x=7,y=3.

2) z=6. Тогда из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что x+y+15 де­лит­ся на 3, а из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 11 по­лу­ча­ем, что x-y+3 де­лит­ся на 11. То есть, x+y может рав­нять­ся 3,6,9,12,15,18, а x-y может рав­нять­ся -3 или 8.

Здесь го­дят­ся толь­ко такие ва­ри­ан­ты: x=3,y=6; x=6,y=9.

 

Ответ: а) да; б) 1946; в) 3696, 4092, 6996, 7392.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства