РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Известно, что b  =  2013²⁰¹³ + 2. Будут ли числа b³ + 2 и b² + 2 взаимно простыми?

б)  Найдите четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

в)   Найдите все числа вида $\overlinexy9z,$ которые делились бы на 132.

Решение. а)  Будем пользоваться таким фактом: НОД(a,b)=НОД(a-b,b) для любых различных натуральных а и b. Это ясно, так как с одной стороны число a-b делится на все общие делители чисел а и b, а с другой стороны, если бы числа а-b и b имели бы больший общий делитель, чем НОД(a,b), то и число а имело бы такой же делитель.

Используя вышеупомянутый факт, и заметив, что b нечетно, получаем: $НОД левая круглая скобка b в кубе плюс 2, b в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =НОД левая круглая скобка b в кубе минус b в квадрате , b в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =НОД левая круглая скобка b минус 1, b в квадрате плюс 2 правая круглая скобка .$ Последнее равенство верно, так как числа $b в квадрате плюс 2$ и $b в квадрате$ при нечетном b взаимно просты. Далее рассмотрим тождество $b в квадрате плюс 2= левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка плюс 3.$ Значит, если $b в квадрате плюс 2$ и $b минус 1$ имеют общий делитель, больший единицы, то это может быть только тройка. Однако, $2013 в степени левая круглая скобка 2013 правая круглая скобка$ делится на 3 (2013 делится на 3), значит, $b минус 1=2013 в степени левая круглая скобка 2013 правая круглая скобка плюс 1$ не кратно 3. Таким образом, $НОД левая круглая скобка b в кубе плюс 2, b в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =1.$

б)  Искомое число можно записать как $131x плюс 112$ и как $132y плюс 98,$ где x,y - некоторые натуральные числа. Значит, $131x плюс 112=132y плюс 98,$ отсюда $131 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка =y минус 14.$ Возьмем $x=y=14.$ Тогда число $131 умножить на 14 плюс 112=1946$ удовлетворяет условию. Искать все такие числа в задаче не требовалось.

в)  Заметим, что $132=3 умножить на 4 умножить на 11,$ значит, искомое число должно делиться на 3, 4 и 11. Если наше число делится на 4, то z=2 или z=6. Разберем эти случаи.

1)  z=2. Тогда из признака делимости на 3 получаем, что x+y+11 делится на 3, а из признака делимости на 11 получаем, что x-y+7 делится на 11. То есть, x+y может равняться 1,4,7,10,13,16, а x-y может равняться -7 или 4. Подходят только такие варианты: x=4,y=0; x=7,y=3.

2)  z=6. Тогда из признака делимости на 3 получаем, что x+y+15 делится на 3, а из признака делимости на 11 получаем, что x-y+3 делится на 11. То есть, x+y может равняться 3,6,9,12,15,18, а x-y может равняться -3 или 8.

Здесь годятся только такие варианты: x=3,y=6; x=6,y=9.

Ответ: а) да; б) 1946; в) 3696, 4092, 6996, 7392.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512429	а) да; б) 1946; в) 3696, 4092, 6996, 7392.

Ключ