Ре­ше­ние. Пред­ло­жен­ная за­да­ча из­вест­на как тео­ре­ма Штей­не­ра–Ле­му­са «Если в тре­уголь­ни­ке равны две бис­сек­три­сы, то этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный». Ис­хо­дя из этого имеем:

а)  Лемма 1. Если две хорды окруж­но­сти стя­ги­ва­ют раз­лич­ные ост­рые углы с вер­ши­на­ми на этой окруж­но­сти, то мень­ше­му углу со­от­вет­ству­ет мень­шая хорда.

До­ка­за­тель­ство. Две рав­ные хорды стя­ги­ва­ют рав­ные углы с вер­ши­ной в цен­тре окруж­но­сти и рав­ные углы (как их по­ло­ви­ны) с вер­ши­на­ми в со­от­вет­ству­ю­щих точ­ках на окруж­но­сти. Из двух не­рав­ных хорд более ко­рот­кая, на­хо­дясь даль­ше от­цен­тра, стя­ги­ва­ет мень­ший угол с вер­ши­ной в цен­тре и, сле­до­ва­тель­но, мень­ший ост­рый угол с вер­ши­ной на окруж­но­сти.

Лемма 2. В тре­уголь­ни­ке с двумя раз­лич­ны­ми уг­ла­ми мень­ший угол об­ла­да­ет боль­шей бис­сек­три­сой.

До­ка­за­тель­ство. Пусть ABC  — тре­уголь­ник, в ко­то­ром Пусть от­рез­ки BM и CNделят по­по­лам углы В и С со­от­вет­ствен­но. Наша за­да­ча  — до­ка­зать, что BM > CN.

Возь­мем точку M' на от­рез­ке BM так, чтобы Так как этот угол равен углу то че­ты­ре точки лежат на одной окруж­но­сти.

По­сколь­ку

то

По лемме 1 Сле­до­ва­тель­но,

Те­перь до­ка­жем тео­ре­му Штей­не­ра–Ле­му­са.

Пред­по­ло­жим, что в тре­уголь­ни­ке т. е. при­знак рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка не вы­пол­ня­ет­ся. Тогда по лемме 2 что про­ти­во­ре­чит усло­вию тео­ре­мы. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние о не­вы­пол­не­нии ра­вен­ства не­вер­но.

б)  Пусть угол при ос­но­ва­нии тре­уголь­ни­ка вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, h тогда: в по тео­ре­ме си­ну­сов:

По­сколь­ку от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние нас не ин­те­ре­су­ет. Итак,

Ответ: б)