PDF-версии: 
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2.
Решение. а) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда
С другой стороны, по формуле Герона
Из уравнения 
получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 5R, 4R и 3R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.
б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 5R = 10, и OM = AO − AM = 5 − 2R = 1.
Тогда
Ответ: б) 
Приведем решение пункта а) Григория Осокина.
Пусть I — центр вписанной окружности, тогда отрезок IM перпендикулярен AС. Из прямоугольного треугольника IAM получим 
из прямоугольного треугольника ICM получим 
Из треугольника AIC по теореме косинусов имеем:
Следовательно, 
Заметим, что 
как тупой угол, образуемый биссектрисами углов, следовательно, 
Приведем еще одно решение пункта а).
Пусть I — центр вписанной окружности, тогда 
Применим формулу тангенса двойного угла:
Таким образом, 
следовательно, эти углы в сумме составляют 90 градусов, тогда угол 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |