В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.
а) Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда
С другой стороны, по формуле Герона
Из уравнения 
получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.
б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.
Тогда
Ответ: б) 