математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 512401

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.

Решение.

а) Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда

С другой стороны, по формуле Герона

Из уравнения получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.

Тогда

 

Ответ: б)