PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система 
имеет единственное решение.
Решение. Первое условие задачи задает в плоскости (xy) окружность с центром в точке (a; 2a − 2). Определимся, где будут располагаться центры этих окружностей. Поскольку 2a − 2 будет зависеть от параметра a линейно, очевидно, они (центры) будут расположены на некоторой прямой. Найдем ее уравнение. Оно (уравнение) будет иметь вид y = kx + b. Вычислим значения k и b. Если a = 0, то 2a − 2 = ka + b, т. е. −2 = b; если же, к примеру, a = 5, то 10 − 2 = 5k + b. Теперь решим систему:
Таким образом, центры окружностей, задаваемых первым условием задачи принадлежат прямой y = 2x − 2 (*)
График уравнения y = |x| (это — объединение биссектрис первого и второго координатных углов) делит плоскость на две области. Неравенству y ≥ |x| будут удовлетворять только те точки плоскости, которые принадлежат все точки, принадлежащие ломаной y = |x| и область, которой принадлежит точка (0; 1).
Каждое слагаемое левой части уравнения неотрицательно. Тогда должно выполняться условие:
Следовательно, при 1 < a < 4 система решений не имеет.
Исследуем пригодность значений а, равных 1 или 4. При этих значениях а окружность вырождается в точку, так как a2 − 5a + 4 = 0.
Если 
то 
Это равенство выполнимо только при одновременном выполнении двух условий: x = 1 и y = 0. Но при этом неравенство y ≥ |x| не выполняется.
Если a = 4, то
Поскольку пара (4; 6) удовлетворяет неравенству y≥ |x|, a = 4 — одно из искомых значений параметра. Неравенство y ≥ |x| не допускает отрицательных значений переменной у, значит, интересующие нас пары (x; у) — точки (x; у) плоскости не могут находиться ниже ломаной y = |x|. Но они не могут находиться и выше ломаной y = |x|, в противном случае получим бесчисленное множество решений системы. Таким образом, в дальнейшем нас будут интересовать только лишь пары (x; у), удовлетворяющие условию x = у. В то же время нас будут интересовать только лишь касание заданной окружности с ломаной y = |x|. Ясно, что центры окружностей при этом будет расположены ниже рассматриваемой ломаной. Рассмотрим случай, когда x = у = 0. (При этом центр окружности будут иметь координаты 0 и −2 соответственно). В этом случае, как нетрудно заметить, окружность и ломаная будут иметь лишь одну общую точку. Получим:
Таким образом, значение a = 0 есть искомое. Можно удостовериться, что 
не удовлетворяет условию задачи.
Исследуем первое условие системы при y = x, x≥ 0.
Мы получили квадратное уравнение относительно x − a. Потребуем, чтоб его четверть дискриминанта была равна нулю.
Итак, мы получили два значения параметра а. Но это — всего лишь необходимое условие единственности решения смешанной системы. Проверим их пригодность. Найдем координаты центра соответствующей окружности при 
:
Оказалось, что ордината центра соответствующей окружности выше правого звена ломаной, что невозможно. Вывод: значение не удовлетворяет условию задачи.
При 
: 
Ордината центра окружности ниже правого звена ломаной. Значение есть искомое. Рассмотрение случаев при x < 0 смысла не имеет. Дело в том, что поскольку наименьшее расстояние от любой точки прямой y = 2x − 2, на которой лежат центры соответствующих окружностей, до начала координат будет минимальным. При увеличении этого расстояния окружность будет пересекать как левое, так и правое звенья ломаной, единственности решения системы не будет.
Таким образом, предложенная система имеет единственное решение при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |