РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 511919 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 119

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Разные задачи

Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта  — по 30 руб., третьего сорта  — по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-⁠го сорта меньше массы яблок 3-⁠го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-⁠го сорта меньше массы яблок 2-⁠го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?

Решение. Пусть x кг  — масса яблок 1-го сорта, y кг  — масса яблок 2-⁠го сорта, оставшиеся 91 − (x + у) кг  — масса яблок 3-⁠го сорта. Для величины выручки имеем:

$40x плюс 30y плюс 20 умножить на левая круглая скобка 91 минус x минус y правая круглая скобка = 2170 равносильно 2x плюс y = 35,$

откуда $y=35 минус 2x$ (*).

Поскольку масса яблок 1-⁠го сорта меньше массы яблок 2-⁠го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 2-⁠го сорта меньше массы яблок 3-⁠го сорта имеем:

$дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: 91 минус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка конец дроби .$

Подставим условие (*) в полученную пропорцию и решим ее:

$дробь: числитель: x, знаменатель: 35 минус 2x конец дроби = дробь: числитель: 35 минус 2x, знаменатель: x плюс 56 конец дроби \underset0 меньше x меньше 17,5\mathop равносильно x левая круглая скобка x плюс 56 правая круглая скобка = левая круглая скобка 35 минус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 3x в квадрате минус 196x плюс 1225=0 равносильно совокупность выражений x=7,x= дробь: числитель: 175}3 конец совокупности . \undersetx меньше 17,5, знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x=7.$ $дробь: числитель: x, знаменатель: 35 минус 2x конец дроби = дробь: числитель: 35 минус 2x, знаменатель: x плюс 56 конец дроби \underset0 меньше x меньше 17,5\mathop равносильно$
$\underset0 меньше x меньше 17,5\mathop равносильно x левая круглая скобка x плюс 56 правая круглая скобка = левая круглая скобка 35 минус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 3x в квадрате минус 196x плюс 1225=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=7,x= дробь: числитель: 175}3 конец совокупности . \undersetx меньше 17,5, знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x=7.$

Таким образом, садовод продал 7 кг яблок первого сорта и, следовательно, 35 − 14 = 21 кг яблок второго сорта.

Ответ: 21.

Приведём другое решение.

Пусть x кг  — масса яблок первого сорта, проданных садоводом, а масса яблок второго сорта составляет tx кг. Тогда масса проданных яблок третьего сорта составит tx · t  =  t²x кг. По условию задачи:

$t в квадрате x плюс tx плюс x=91 равносильно левая круглая скобка t в квадрате плюс t плюс 1 правая круглая скобка x=91 левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$20t в квадрате x плюс 30tx плюс 40x=2170 равносильно левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 3t плюс 4 правая круглая скобка x=217 левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Поделив почленно равенство (2) на равенство (1), получим:

$дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 3t плюс 4, знаменатель: t в квадрате плюс t плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 217, знаменатель: 91 конец дроби равносильно 2 плюс дробь: числитель: t плюс 2, знаменатель: t в квадрате плюс t плюс 1 конец дроби =2 плюс дробь: числитель: 35, знаменатель: 91 конец дроби равносильно дробь: числитель: t плюс 2, знаменатель: t в квадрате плюс t плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби равносильно$

$равносильно 5t в квадрате плюс 5t плюс 5 минус 13t минус 26=0 равносильно 5t в квадрате минус 8t минус 21=0 равносильно t= дробь: числитель: 4\pm корень из: начало аргумента: 16 плюс 105 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби равносильно t= дробь: числитель: 4\pm 11, знаменатель: 5 конец дроби равносильно$   $совокупность выражений новая строка t=3 , новая строка t= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .$

Значение $t= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби$ не подходит по смыслу задачи. Значение x найдем из уравнения $левая круглая скобка t в квадрате плюс t плюс 1 правая круглая скобка x=91.$

$x= дробь: числитель: 91, знаменатель: 9 плюс 3 плюс 1 конец дроби =7.tx=21.$

Ответ: 21 кг.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 21. 21 кг.

511919

21. 21 кг.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 119

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511919	21. 21 кг.