PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике АВС 
проведены медианы АМ и ВК. Известно, что около четырехугольника АВМК можно описать окружность.
А) Докажите, что СК = СМ.
Б) Пусть АВ = 2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника.
Решение. Решение 1. Проведем окружность, о которой говорится в условии задачи. В соотвтетствии со свойством секущей и хорды имеем:
Так как по условию 
то 
откуда 
что и требовалось доказать.
Б) В 
где 
В 
Теперь нетрудно найти и радиус R окружноси, описанной около треугольника АМВ, который совпадет с радиусом окружности, описанной около четырехугольника АВМК.
Ответ: Б) 
Решение 2.
а) Заметим, что 
то есть ABMK — вписанная трапеция. Значит, она равнобедренная, то есть 
Тогда и 
б) Из пункта а) следует, что 
тогда 
Тогда 
и 
Интересующая нас окружность описана около треугольника KBM. По усиленной теореме синусов ее радиус равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |