PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Преобразуем каждое из уравнений системы.
а) ##
В соответствии с теоремой Виета: 
б) ##
Теперь заданную систему запишем так:
Она (система) будет равносильна совокупности двух систем:
Рассмотрим систему (1). При этом:
Это уравнение будет иметь решения, если его дискриминант будет неотрицательным.
Система (1) будет иметь ровно одно решение при 
или при 
Она же будет иметь ровно два решения при
При 
система (1) решений не будет иметь. Теперь рассмотрим систему (2).
Перепишем ее так:
Найдем ее главный определитель
Вычислим ее вспомогательные определители:
При 
система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений. Случай бесчисленного множества решений исключается, так как для того чтобы система (2) имела бесчисленное множество решений, кроме условия 
потребуется выполнение равенства 
Однако оно не выполнимо, так как
Следовательно, при система (2) решений не имеет. При любых других значениях а система (2) будет иметь ровно одно решение. Заметим, что системы (1) и (2) также могут иметь совпадающие решения. Найдем их, если они имеются. Решим уравнение 
При 
: 
При 
: 
Итак, при 
или 
системы (1) и (2), следовательно, и исходная система имеют ровно два решения: (3; 0) и (1; –2). Обобщим наши исследования и для большей наглядности данные занесем в таблицу:
| Значения параметра a | Система (1) имеет: | Система (2) имеет: |
|---|---|---|
 | ровно 2 решения | ровно 1 решение |
 | ровно 1 решение | ровно 1 решение |
 | решений нет | ровно 1 решение |
| 0 | ровно 1 решение | ровно 1 решение |
 | ровно 2 решения | ровно 1 решение |
 | ровно 2 решения (тождественное их совпадение) | |
 | ровно 2 решения | ровно 1 решение |
 | ровно 2 решения (тождественное их совпадение) | |
 | ровно 2 решения | ровно 1 решение |
| 1 | ровно 2 решения | решений нет |
( | ровно 2 решения | ровно 1 решение |
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |