ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 511878 Добавить в вариант

Решите неравенство $\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка минус \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка плюс \log _ левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка 3 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Найдем ограничения на x:

$система выражений новая строка x плюс 1,5 больше 0 , новая строка x плюс 1,5 не равно 1 , новая строка 3,5 минус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше минус 1,5 , новая строка x не равно минус 0,5 , новая строка x меньше 3,5 . конец системы .$

В дальнейшем неравенство будем рассматривать исключительно на множестве $M= левая круглая скобка минус 1,5; минус 0,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 0,5;3,5 правая круглая скобка .$

$\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка минус \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка плюс \log _ левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка 3 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка минус 2\log _2 левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Введем новые переменные. Пусть $\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка =u,\log _2 левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка = v .$ Тогда:

$u минус 2 v плюс дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: u конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: u в квадрате минус 2u v плюс v в квадрате , знаменатель: u конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: u конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка u= v , новая строка u меньше 0 . конец совокупности .$

Переходим к переменной x.

1)   $\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка .$ Заметим, что: это уравнение обращается в истинное высказывание при x  =  1,5; функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка$   — возрастающая в области определения; функция же $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка$   — убывающая в своей области определения; при x  =  1,5 обе эти функции определены.

Из сказанного вывод: в соответствии с теоремой о корне, уравнение $\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 3,5 минус x правая круглая скобка$ не может иметь других корней, кроме корня 1,5 . Итак, 1,5  — часть решений исходного неравенства.

2)  Решим неравенство

$\log _3 левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка меньше 0 равносильно x плюс 1,5 меньше 1 равносильно x меньше минус 0,5.$

Таким образом, решения заданного неравенства: $левая круглая скобка минус 1,5; минус 0,5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1,5 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1,5; минус 0,5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1,5 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 115

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь