РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 511877 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 115

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Угол между плоскостями

Сложная стереометрия. Многогранники

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 12. Точка P  — середина ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC  =  1 : 2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A₁ пересекает ребро DD₁ в точке M.

а)  Докажите, что DM : D₁M  =  1 : 4.

б)  Найдите угол между плоскостями PKA₁ и ABC.

Решение. Воспользуемся координатным методом исследования. Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунке. В таком случае имеем точки: A₁(12; 0; 12), K(8; 12; 0), P(0; 6; 0).

Будем искать уравнение плоскости PKA₁. Примем d = 24. Тогда:

$система выражений новая строка 12a плюс 12c плюс 24=0 , новая строка 8a плюс 12b плюс 24=0 , новая строка 6b плюс 24=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка a плюс c плюс 2=0 , новая строка 2a плюс 3b плюс 6=0 , новая строка b= минус 4 . конец системы .$

$2a минус 12 плюс 6=0 равносильно a=3;$

$3 плюс c плюс 2=0 равносильно c= минус 5.$

Итак, уравнение плоскости PKA: 3x − 4y − 5z + 24 = 0.

а)  Найдем аппликату точки М. Ее абсцисса и ордината имеют значения 12 и 12 соответственно.

$36 минус 48 минус 5z_M плюс 24=0 равносильно 5z_M=12 равносильно z_M=2,4.$

Отсюда: DM = 2,4; D₁M  =  12 − 2,4  =  9,6. DM :D₁M  =  2,4 : 9,6  =  1 : 4, что и требовалось доказать.

б)   Плоскость ABC имеет уравнение: z  =  0. Если φ   — искомый угол, то:

$косинус \varphi = дробь: числитель: \left| 3 умножить на 0 минус 4 умножить на 0 минус 5 умножить на 1 |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 5 в квадрате умножить на корень из: начало аргумента: 0 конец аргумента в квадрате плюс 0 в квадрате плюс 1 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;\varphi =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: б) 45°

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: б) 45°

511877

б) 45°

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 115

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Угол между плоскостями

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511877	б) 45°