РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 511876 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 115

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно показательных функций

Методы алгебры: Группировка

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка синус правая круглая скобка в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка конец дроби .$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите его корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка синус правая круглая скобка в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 2 синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 2 синус x$

$равносильно 2 косинус x плюс 1 минус 2 синус в квадрате x минус 2 синус x=0 равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно 2 косинус x плюс 1 минус 2 синус в квадрате x минус 2 синус x=0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0$ $равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0$

$равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 плюс косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус x= синус x , новая строка косинус x плюс синус x= минус 2 конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ $равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 плюс косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка косинус x= синус x , новая строка косинус x плюс синус x= минус 2 конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

Уравнение $косинус x плюс синус x= минус 2$ решений не имеет из-за ограниченности функций синус и косинус; cos x и sin x при одном и том же значении x не могут принять значение, равное −1.

б)  Нетрудно заметить, что на $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка$ найдется единственная точка, при которой выполняется условие $косинус x= синус x.$ Такой точкой будет $2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511876

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 115

Методы алгебры: Группировка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511876	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$