РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша  — в банке «Хитер-Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша  — пятью равными платежами.

Решение. Пусть братья планируют взять кредит в размере K у. е.

Рассчитаем кредит Саши.

Сумма долга по состоянию на 01.04.2016 г. 1,2K у. е. Клиент переводит в банк A у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,2K − A у. е. Банк начисляет проценты. Долг становится 1,2²K − 1,2A у. е. Клиент переводит в банк A у. е. Кредит будет погашен.

Следовательно,

$1,2 в квадрате K минус 1,2A минус A=0 равносильно 1,2 в квадрате K=2,2A$   $равносильно$   $A= дробь: числитель: 1,44K, знаменатель: 2,2 конец дроби = дробь: числитель: 144K, знаменатель: 220 конец дроби = дробь: числитель: 36K, знаменатель: 55 конец дроби .$

Саша за 2 года банку заплатит $дробь: числитель: 72K, знаменатель: 55 конец дроби$ у. е.

Кредит Паши.

Сумма долга по состоянию на 01.04.2016 г. 1,1K у. е. Клиент переводит в банк B у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,1K − B у. е. Банк начисляет проценты. Долг становится 1,12K − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,1²K − 1,1B − B у. е.

01.04.2018 г. банк начисляет проценты. Долг становится 1,1³K − 1,1²B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,1³K − 1,1²B − 1,1B − B у. е.

01.04.2019 г. банк начисляет проценты. Долг становится 1,1⁴KM − 1,1³B − 1,1²B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,1⁴K − 1,1³B − 1,1²B − 1,1B − B у. е.

01.04.2020 г. банк начисляет проценты.

Долг становится 1,1⁵K − 1,1⁴B − 1,1³B − 1,1²B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Кредит будет погашен.

Значит,

$1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K минус 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка B минус 1,1 в кубе B минус 1,1 в квадрате B минус 1,1B минус B=0 равносильно 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка B плюс 1,1 в кубе B плюс 1,1 в квадрате B плюс 1,1B плюс B равносильно$ $1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K минус 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка B минус 1,1 в кубе B минус 1,1 в квадрате B минус 1,1B минус B=0 равносильно$
$равносильно 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка B плюс 1,1 в кубе B плюс 1,1 в квадрате B плюс 1,1B плюс B равносильно$

$равносильно 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K= левая круглая скобка 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1,1 в кубе плюс 1,1 в квадрате плюс 1,1 плюс 1 правая круглая скобка умножить на B равносильно B= дробь: числитель: 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K, знаменатель: 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1,1 в кубе плюс 1,1 в квадрате плюс 1,1 плюс 1 конец дроби .$ $равносильно 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K= левая круглая скобка 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1,1 в кубе плюс 1,1 в квадрате плюс 1,1 плюс 1 правая круглая скобка умножить на B равносильно$
$равносильно B= дробь: числитель: 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K, знаменатель: 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1,1 в кубе плюс 1,1 в квадрате плюс 1,1 плюс 1 конец дроби .$

Найдем значение знаменателя как сумму первых 5 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, знаменателем 1,1.

$S_5= дробь: числитель: 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 1,1 минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1,61051 минус 1, знаменатель: 0,1 конец дроби = дробь: числитель: 0,61051, знаменатель: 0,1 конец дроби =6,1051.$

Далее: $B= дробь: числитель: 1,61051K, знаменатель: 6,1051 конец дроби ;$

Паша за 5 лет банку заплатит $5B= дробь: числитель: 5 умножить на 1,61051K, знаменатель: 6,1051 конец дроби$ у. е.

Для удобства в дальнейших расчетах K примем за 6,1051k. В таком случае Саша в банк должен заплатить $дробь: числитель: 72 умножить на 6,1051k, знаменатель: 55 конец дроби$ у. е., а Паша  — $5 умножить на 1,61051k$ у. е.

Найдем отношение $\eta =5 умножить на 1,61051k : дробь: числитель: 72 умножить на 6,1051k, знаменатель: 55 конец дроби .$

$\eta = дробь: числитель: 1,61051 умножить на 5 умножить на 55, знаменатель: 72 умножить на 6,1051 конец дроби больше дробь: числитель: 1,6 умножить на 25 умножить на 11, знаменатель: 72 умножить на 6,11 конец дроби = дробь: числитель: 1,6 умножить на 11 умножить на 100:4, знаменатель: 439,92 конец дроби = дробь: числитель: 440, знаменатель: 439,92 конец дроби больше 1.$

Ответ: Паша.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511865	Паша.

Ключ