PDF-версии: 
В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.
Решение. а) Поскольку AKCM — параллелограмм и KC ⊂ BC, AM ⊂ AD, BC || AD, KC = AM.
Из того, что AKCM — параллелограмм также следует: AK = MC, ∠KAD = ∠CMD как соответственные при параллельных AK, МС и секущей AD.
Угол AKB равен углу KAD как накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AK, угол BAK равен DAK по условию, значит, угол BAK равен углу BKA, откуда BK = AB.
Аналогично можно доказать равнобедренность треугольника CDM, т. е. CD = MD.
Рассмотрим равнобедренные треугольники ABK и CDM. У них: ∠ KAD = ∠ CMD, AK = MC (эти равенства показаны выше), следовательно, Δ ABK = Δ CDM. По второму признаку равенства треугольников. Отсюда сразу же следует, что BK = MD.
Таким образом,
(ABCD — параллелограмм по признаку параллелограмма), что и требовалось доказать.
б) Для удобства введем обозначения: пусть AB = a, AD = b, AC = d1, BD = d2, O — точка пересечения диагоналей.
Острый угол между АС и BD обозначим α, тупой — β.
Рассмотрим Δ AOD и Δ AOB. По теореме косинусов:
Вычитаем почленно равенство (**) из равенства (*).
Получаем: 
откуда 
Но для площади любого выпуклого четырехугольника ABCD (в том числе и параллелограмма) также справедлива формула
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |