РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 511861 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Группировка, Формулы половинного аргумента

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x минус 4 синус в квадрате x плюс 5=0.$

б)  Найдите его корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Имеем:

$косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x минус 4 синус в квадрате x плюс 5=0 равносильно$ $равносильно 1 плюс косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x плюс 4 минус 4 синус в квадрате x=0 равносильно$ $равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 6 косинус 2x косинус x плюс 4 косинус в квадрате x=0 равносильно$ $равносильно косинус в квадрате 2x минус 3 косинус 2x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x=0 равносильно$ $равносильно косинус в квадрате 2x минус косинус 2x косинус x минус 2 косинус 2x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x=0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус косинус 2x косинус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x косинус x минус 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =0$   $равносильно$ $равносильно косинус 2x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус x правая круглая скобка минус 2 косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус x правая круглая скобка =0$ $равносильно$ $равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x минус 2 косинус x правая круглая скобка =0$ $равносильно$ $равносильно совокупность выражений новая строка косинус 2x минус косинус x=0 , новая строка косинус 2x минус 2 косинус x=0 . конец совокупности .$

$косинус 2x минус косинус x=0 равносильно$ $1 плюс косинус 2x минус косинус x минус 1=0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0 равносильно$

$равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=1 , новая строка косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

$косинус 2x минус 2 косинус x=0 равносильно 1 плюс косинус 2x минус 2 косинус x минус 1=0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус 2 косинус x минус 1=0 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $косинус 2x минус 2 косинус x=0 равносильно 1 плюс косинус 2x минус 2 косинус x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 2 косинус x минус 1=0 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Уравнение $косинус x= дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ решений не имеет.

$косинус x= дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.

$x_1= Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , x_2= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x_3=2 Пи .$

Ответ: а) $2 Пи n,\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511861

а) $2 Пи n,\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,2 Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114

Методы алгебры: Группировка, Формулы половинного аргумента

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511861	а) $2 Пи n,\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,2 Пи .$