СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511842

А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.

Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.

В) Может ли разность каких‐либо Nх (N > 3) степеней двух целых чисел равняться 91?

Решение.

а) Требуется решить в целых числах уравнение Перепишем его в виде: Заметим, что 91 можно разложить на множители восемью способами: Получаем восемь различных пар (x;y): (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3).

 

б) Требуется решить в целых числах уравнение Перепишем его в виде: Аналогично пункту а), получаем 8 систем: и еще 7 аналогичных систем. Решая их в целых числах, получаем четыре пары (x,y): (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4).

 

в) Будем искать только неотрицательные решения (1), поскольку:

- если n-четно, то пара (|x|,|y|) - тоже решение (1)

- если n-нечетно,то

- если x<0 и y<0. то пара (|y|,|x|) - решение (1)

- если и y<0, то пара (|x|,|y|) - решение уравнения (2)

При x<0 и - уравнение (1) решений не имеет (левая часть отрицательна).

Таким образом, если существует какое-либо целочисленное решение (1), то тогда найдется решение в неотрицательных целых числах либо уравнения (1), либо уравнения (2).

Покажем, что таких решений нет. Заметим, что y>1, так как уравнения не имеют целочисленных решений при n>1. Так же , поэтому

 

Сначала разберем случай n=4.

Учитывая, что , то возможен только один вариант разложения числа 91 на три различных множителя:

Легко убедиться, что в этом случае решений в целых числах нет.

 

Пусть n>4, тогда:

Функция , где , является возрастающей, так как после раскрытия скобок останется сумма возрастающих функций. Тогда, с учетом того, что имеем:

 

Таким образом , при решений нет

 

Ответ: а) (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). б) (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4). в) не может.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства