А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.
Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.
В) Может ли разность каких‐либо 
степеней двух целых чисел равняться 91?
а) Требуется решить в целых числах уравнение 
Перепишем его в виде: 
Заметим, что 91 можно разложить на множители восемью способами: 
Получаем восемь различных пар (x;y): (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3).
б) Требуется решить в целых числах уравнение 
Перепишем его в виде: 
Аналогично пункту а), получаем 8 систем: 
и еще 7 аналогичных систем. Решая их в целых числах, получаем четыре пары (x,y): (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4).
в) Будем искать только неотрицательные решения 
(1), поскольку:
- если n-четно, то пара (|x|,|y|) - тоже решение (1)
- если n-нечетно,то
- если x<0 и y<0. то пара (|y|,|x|) - решение (1)
- если 
и y<0, то пара (|x|,|y|) - решение уравнения 
(2)
При x<0 и 
- уравнение (1) решений не имеет (левая часть отрицательна).
Таким образом, если существует какое-либо целочисленное решение (1), то тогда найдется решение в неотрицательных целых числах либо уравнения (1), либо уравнения (2).
Покажем, что таких решений нет. Заметим, что y>1, так как уравнения 
не имеют целочисленных решений при n>1. Так же 
поэтому 
Сначала разберем случай n=4.
Учитывая, что 
то возможен только один вариант разложения числа 91 на три различных множителя: 
Легко убедиться, что в этом случае решений в целых числах нет.
Пусть n>4, тогда: 
Функция 
где 
является возрастающей, так как после раскрытия скобок останется сумма возрастающих функций. Тогда, с учетом того, что 
имеем: 
Таким образом, , при 
решений нет
Ответ: а) (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). б) (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4). в) не может.