РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

А)  Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.

Б)  Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.

В)  Может ли разность каких‐либо $N минус x левая круглая скобка N больше 3 правая круглая скобка$ степеней двух целых чисел равняться 91?

Решение. а)  Требуется решить в целых числах уравнение $x в квадрате минус y в квадрате =91.$ Перепишем его в виде: $левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =91.$ Заметим, что 91 можно разложить на множители восемью способами: $91=1 умножить на 91=7 умножить на 13=13 умножить на 7=91 умножить на 1=$
$= минус 1 умножить на левая круглая скобка минус 91 правая круглая скобка = минус 7 умножить на левая круглая скобка минус 13 правая круглая скобка = минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка = минус 91 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Получаем восемь различных пар (x;y): (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3).

б)  Требуется решить в целых числах уравнение $x в кубе минус y в кубе =91.$ Перепишем его в виде: $левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс xy плюс y в квадрате правая круглая скобка =91 равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате плюс 3xy правая круглая скобка =91.$ Аналогично пункту а), получаем 8 систем: $система выражений x минус y=1, левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате плюс 3xy=91. конец системы$ и еще 7 аналогичных систем. Решая их в целых числах, получаем четыре пары (x,y): (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4).

в)  Будем искать только неотрицательные решения $x в степени n минус y в степени n =91$ (1), поскольку:

- если n-четно, то пара (|x|,|y|) - тоже решение (1)

- если n-нечетно,то

- если x<0 и y<0. то пара (|y|,|x|) - решение (1)

- если $x больше или равно 0$ и y<0, то пара (|x|,|y|) - решение уравнения $x в степени n плюс y в степени n =91$ (2)

При x<0 и $y больше или равно 0$ - уравнение (1) решений не имеет (левая часть отрицательна).

Таким образом, если существует какое-либо целочисленное решение (1), то тогда найдется решение в неотрицательных целых числах либо уравнения (1), либо уравнения (2).

Покажем, что таких решений нет. Заметим, что y>1, так как уравнения $x в степени n =90;x в степени n =91;x в степени n =92$ не имеют целочисленных решений при n>1. Так же $x больше y,$ поэтому $y больше или равно 2,x больше или равно 3$

Сначала разберем случай n=4.

$x в степени 4 минус y в степени 4 = левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка =91$

Учитывая, что $x минус y меньше x плюс y меньше x в квадрате плюс y в квадрате ,$ то возможен только один вариант разложения числа 91 на три различных множителя: $91=1 умножить на 7 умножить на 13.$

Легко убедиться, что в этом случае решений в целых числах нет.

Пусть n>4, тогда: $x в степени n плюс y в степени n больше x в степени n минус y в степени n больше y в степени левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени 5 минус y в степени 5 правая круглая скобка больше или равно x в степени 5 минус y в степени 5 больше или равно левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в степени 5 минус y в степени 5$

Функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в степени 5 минус t в степени 5 ,$ где $t больше или равно 1,$ является возрастающей, так как после раскрытия скобок останется сумма возрастающих функций. Тогда, с учетом того, что $y больше или равно 2$ имеем: $левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в степени 5 минус y в степени 5 больше или равно 3 в степени 5 минус 2 в степени 5 =243 минус 32=211 больше 91.$

Таким образом, , при $n больше или равно 3$ решений нет

Ответ: а) (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). б) (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4). в) не может.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511842	а) (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). б) (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4). в) не может.

Ключ