Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 511838
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: \log _3 минус x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус \log _x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Огра­ни­че­ния на x: 0 мень­ше x мень­ше 3, x не равно 1,x не равно 2.

Кроме того, x в квад­ра­те не равно 3 минус x;x в квад­ра­те плюс x минус 3 не равно 0;x не равно дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 12 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;x не равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть \log _3 минус xx=t, тогда:

дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2t конец дроби конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2t минус 1 конец дроби минус 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 2t плюс 1, зна­ме­на­тель: t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби мень­ше или равно 0.

 

Пре­жде решим урав­не­ние: t=1, т. е. \log _3 минус xx=1  рав­но­силь­но   x=3 минус x  рав­но­силь­но   x=1,5. Далее при t не равно 1 имеем: t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пе­рей­дя к пе­ре­мен­ной x, по­лу­чим:

\log _3 минус xx мень­ше \log _3 минус x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус x конец ар­гу­мен­та ;

левая круг­лая скоб­ка 3 минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

Так как при x боль­ше 0 x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0, то по­след­нее не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0   рав­но­силь­но   со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше 2 . конец со­во­куп­но­сти .

С уче­том огра­ни­че­ний на x: 0 мень­ше x мень­ше 1,  рав­но­силь­но   1 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 2 мень­ше x мень­ше 3. Мы по­лу­чи­ли дру­гую часть ре­ше­ний не­ра­вен­ства.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Не­ра­вен­ства, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025