PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых найдется хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющих системе
Решение. Будем исходить из таких геометрических соображений. В плоскости (xy) уравнения
задают прямые. Если каждое из этих уравнений разрешить относительно у, то получим:
Угловые коэффициенты этих прямых свидетельствуют, что среди них нет ни одной пары, параллельных друг другу. Каждая из них будет делить плоскость (xy) на две полуплоскости, и лишь одна из них будет удовлетворять соответствующему неравенству. Пересечением таких пригодных полуплоскостей будет некоторый треугольник. Найдем координаты вершин этого треугольника.
Итак, 
Четвертое условие исходной системы задает уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 
Система будет иметь непустое решение, если найдется хотя бы одна общая точка этой окружности и части плоскости, отсекаемой от нее треугольником ABC.
Исходя из геометрических соображений (см. рис.), сделаем вывод: параметр а будет принимать все значения из числового отрезка, левый конец которого будет равен квадрату длины отрезка OD, а правый конец — квадрату длины OB. (OD ⊥ OC).
Ясно, что 
Треугольник AOC оказался равнобедренным. Отсюда:
Итак, имеем: 
Ответ: 
Замечания:
1. При решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными необходимости в использовании определителей второго порядка нет. Решения могут найдены другими методами, известными с 8 класса. Определители как второго, так и третьего порядка в учебнике М. И. Шабунина и А. А. Прокофьева имеются.
2. При нахождении длины отрезка OD можно было бы использовать и условие перпендикулярности двух векторов, в частности, вектора 
и вектора 
обозначив координаты точки D какими-либо буквами.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |