PDF-версии: 
Основанием пирамиды PABC является правильный треугольник ABC со стороной 6. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол 
Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.
Решение. Случай 1. Пирамида правильная. Пусть PL — апофема пирамиды, PH — ее высота. Тогда:
Случай 2. Пирамида неправильная, ее вершина проектируется в центр вневписанной окружности. Найдем радиус вневписанной окружности:
Для вычисления высоты пирамиды найдем тангенс угла α:
Тогда 
Найдем апофему пирамиды PH — высоту Δ BPC:
Докажем, что высоты треугольников APB и APC, проведенные к AB и АС соответственно, равны PH. Пусть точки D и E — точки касания продолжений сторон АС, AB треугольника ABC и вневписанной окружности соответственно. Тогда PE, PD, PH, являющиеся высотами треугольников APB, APC, BPC, равны как наклонные, имеющие равные проекции, — радиусы одной и той же вневписанной окружности. Таким образом, треугольники APB, APC, BPC — равновелики. Итак,
Теперь найдем искомый радиус вписанной сферы:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |