Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами 
и 
С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 5. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.
Пусть 
Тогда 
Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
Из прямоугольного треугольника OAD находим, что 
и тогда 
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности S внутренним образом, а вторая — внешним.
В первом случае:
По теореме Пифагора 
:
откуда находим, что 
Во втором случае:
Тогда
Ответ: 
или 