Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 511303

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 12. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

Решение.

Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его основание BC,O — центр вписанной окружности, P — точка ее касания с боковой стороной AB.

Тогда

AO=AD минус OP=25 минус 12=13.

Обозначим \angle BAD=\alpha. Из прямоугольного треугольника находим, что  синус \alpha = дробь, числитель — OP, знаменатель — OA = дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 .

Тогда  косинус \alpha = дробь, числитель — 5, знаменатель — 13 ,\operatorname{ тангенс }\alpha= дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 ,AP=AO косинус \alpha=13 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 13 =5, BP=BD=AD\operatorname{ тангенс }\alpha =25 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 =60.

Пусть окружность с центром O_1 и радиусом r_1 касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания BC. Тогда D — точка касания, поэтому

BF=BD=60,AF=AP плюс PB плюс BF=5 плюс 60 плюс 60=125.

Следовательно, r_1=O_1F=AF\operatorname{ тангенс }\alpha =125 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 =300.

Пусть теперь окружность с центром O_2 радиуса r_2 касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке K. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_2 и AD — биссектрисы смежных углов BAK и CAB значит, \angle DA{{O}_{2}}=90{} в степени circ . Тогда ADQ{{O}_{2}} — прямоугольник. Следовательно, {{r}_{2}}={{O}_{2}}Q=AD=25. Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 25

Ответ: 25 или 300.


Аналоги к заданию № 484614: 511303 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники