PDF-версии: 
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 12. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.
Решение. Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его основание 
— центр вписанной окружности, P — точка ее касания с боковой стороной 
Тогда
Обозначим 
Из прямоугольного треугольника находим, что 
Тогда 
Пусть окружность с центром 
и радиусом 
касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания 
Тогда D — точка касания, поэтому
Следовательно, 
Пусть теперь окружность с центром 
радиуса 
касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому 
и AD — биссектрисы смежных углов BAK и CAB значит, 
Тогда 
— прямоугольник. Следовательно, 
Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 25
Ответ: 25 или 300.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |