PDF-версии: 
Четырехугольник ABDC вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AD · BP = BC · DP.
б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD = 2 · AC, а площадь четырехугольника ABDC равна 36.
Решение.
А) Известно, что BP · AP = DP · CP.
Δ APD ~ Δ CPB, так как у них ∠ P — общий, ∠ ABC = ∠ ADP как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Отсюда: 
или AD · BP = BC · DP, что и требовалось доказать.
Б) Δ APC ~ Δ DPB с некоторым коэффициентом подобия k, так как ∠ P — общий, 
Следовательно, 
А это значит, что 
т. е.
Ответ: б) 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |