PDF-версии: 
Найдите все а, при каждом из которых функция 
имеет ровно два экстремума на промежутке (−2; 3).
Решение. Заданная функция определена и непрерывна в каждой точке интервала (−2; 3).
На интервале (−2; 0) имеем: 
тогда
поэтому функция 
на (−2; 0) монотонно возрастает, и, следовательно, экстремумов не имеет.
Рассмотрим теперь промежуток [0; 3). На нем 
тогда 
Найдем нули производной:
Рассматриваемая функция в точке 0 экстремум может иметь, может и не иметь (см. ниже).
Случай 1. Если в точке 0 экстремума нет, то обе точки экстремума обязаны принадлежать интервалу (0; 3), то должна быть совместна система:
Случай 2. Если 0 — точка экстремума, то функция должна иметь на интервале (0; 3) ровно одну точку экстремума. Тогда либо
Осталось выяснить, при каких значениях параметра точка 0 является точкой экстремума, а при каких нет.
Заданная функция непрерывна, и она возрастает на (−2; 0). Для любого a из (−1; 1] найдется интервал (0; m), на котором убывает. В этом случае точка 0 является точкой максимума. Для любого a не лежащего на (−1; 1] найдется интервал (0; m) на котором возрастает. В этом случает точка 0 не является точкой экстремума. Таким образом, во втором случае искомыми являются только такие значения a, что 
Объединяя случаи 1 и 2, получаем: 
Дополнительно отметим, что при a из [2; 4) функция имеет один экстремум на (−2; 3) и не имеет экстремумов при прочих значениях параметра.
Ответ: (−1; 2).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |