СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511233

К двум окруж­но­стям с цен­тра­ми O1 и O2 и ра­ди­у­са­ми 6 и 3 про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внут­рен­няя и две внеш­них. Пусть A и B — точки пе­ре­се­че­ния общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внеш­ни­ми.

а) До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка O1AO2B можно опи­сать окруж­ность.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей с их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной, если из­вест­но, что O1O2 = 15.

Решение.

а) Пусть: F и E — общие точки окружности с центром O2 и общих внешних касательных, G и H — общие точки другой заданной окружности и тех же внешних касательных, N и Q — общие точки заданных окружностей и общей внутренней касательной; T — точка пересечения O1O2 и AB.

Соединим отрезками точки O1 и A, O2 и B. Заметим, что:

AO1 есть биссектриса угла HAB, AO2 — биссектриса угла EAB. А эти углы являются смежными. Так как биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны, то ∠O1AO2 = 90°. Аналогично докажем, что ∠O1BO2 = 90°. Таким образом, получаем , что сумма одной пары противоположных углов четырехугольника O1AO2B равна 180°. Коли это так, то сумма и другой пары противоположных углов того же четырехугольника обязана быть равной 360° − 180° = 180°. То есть выполняется признак вписанного четырехугольника, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что O1Q || O2N как два перпендикуляра к одной и той же прямой AB.

Рассмотрим Δ O1QT и Δ O2NT. Они прямоугольны, у них: ∠QTO1 = ∠NTO2 как вертикальные, ∠QO1T = ∠NO2T как внутренние накрест лежащие при параллельных O1Q, O2N и секущей O1O2. Значит, Δ O1QT ~ Δ O2NT,

Пусть тогда

В

В

 

Ответ: б) 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности