Ре­ше­ние. а)  Пусть: F и E  — общие точки окруж­но­сти с цен­тром O₂ и общих внеш­них ка­са­тель­ных, G и H  — общие точки дру­гой за­дан­ной окруж­но­сти и тех же внеш­них ка­са­тель­ных, N и Q  — общие точки за­дан­ных окруж­но­стей и общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной; T  — точка пе­ре­се­че­ния O₁O₂ и AB.

Со­еди­ним от­рез­ка­ми точки O₁ и A, O₂ и B. За­ме­тим, что:

AO₁ есть бис­сек­три­са угла HAB, AO₂  — бис­сек­три­са угла EAB. А эти углы яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми. Так как бис­сек­три­сы двух смеж­ных углов вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то ∠O₁AO₂  =  90°. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что ∠O₁BO₂  =  90°. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем , что сумма одной пары про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка O₁AO₂B равна 180°. Коли это так, то сумма и дру­гой пары про­ти­во­по­лож­ных углов того же че­ты­рех­уголь­ни­ка обя­за­на быть рав­ной 360° − 180°  =  180°. То есть вы­пол­ня­ет­ся при­знак впи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что O₁Q || O₂N как два пер­пен­ди­ку­ля­ра к одной и той же пря­мой AB.

Рас­смот­рим Δ O₁QT и Δ O₂NT. Они пря­мо­уголь­ны, у них: ∠QTO₁ = ∠NTO₂ как вер­ти­каль­ные, ∠QO₁T = ∠NO₂T как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных O₁Q, O₂N и се­ку­щей O₁O₂. Зна­чит, Δ O₁QT ~ Δ O₂NT,

Пусть тогда

В

В

Ответ: б) 12.