PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.
а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.
б) Найдите угол MCL.
Решение. Геометрический способ решения.
а) По теореме Пифагора: 
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, 
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: 
Если 
то 
значит, точка L лежит между M и В.
Так как треугольники CML и ABC с основаниями ML и AB соответственно имеют равные высоты, проведенные к этим сторонам из их общей вершины С, то:
что и требовалось доказать.
б) Проведем MD — среднюю линию треугольника ACB. Тогда 
Координатно-векторный способ решения.
Поместим заданный треугольник в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты некоторых точек: A(0; 3), B(2; 0).
а) По теореме Пифагора: 
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: 
Найдем координаты точки L используя формулы деление отрезка в данном отношении 
что и требовалось доказать.
б) 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |