PDF-версии: 
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.
б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
Решение. а) Искомое отношение не будет зависеть от длин ребер заданной призмы. Поэтому мы сами вправе выбрать длину ребер при основании призмы и длину ее боковых ребер.
Пусть для определенности стороны основания призмы , будет равны 1, а боковые ребра равны 3.
Поместим заданную призму в прямоугольную декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек:
Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение этой плоскости:
Вычтем уравнение (3) из уравнения (2): 
Подставим полученное значение а в уравнение (1).
Теперь значение b подставим в уравнение (2):
Итак, уравнение плоскости β имеет вид:
Точа M лежит на прямой AA1. Значит, она может быть задана своими координатами: 
То есть:
Итак, (0; −1; 1). AM = 1, A1M = 3 − 1 = 2; AM : A1M = 1 : 2, что и требовалось доказать.
б) Очевидно, уравнение плоскости нижнего основания призмы имеет вид: z = 0. Если угол между секущей плоскостью β и основанием призмы равен φ, то
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |