PDF-версии: 
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.
б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.
Решение. а) Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r — радиус этой окружности, P ∈ BC, M ∈ AC. Соединим О с вершинами треугольника А, В и С.
Докажем, что CMOP — квадрат.
По свойству касательной к окружности: OP ⊥ BC, OM ⊥ AC. Следовательно, MC || OP, OM || CP, значит, CMOP — параллелограмм.
CMOP — параллелограмм, ∠P = 90°, значит, CMOP — прямоугольник, CMOP — прямоугольник, OM = OP = r, значит, CMOP — квадрат.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: BK = BP, AK = AM, MC = CP.
То есть 2S(ABC) = AK · BK + S(ABC), откуда: S(ABC) = AK · BK, что и требовалось доказать.
б) Соединим точки M и K, M и P, P и K отрезками. Найдем r.
Очевидно, что
Но как было доказано выше, S(ABC)=AK · BK = 60. Следовательно,
Подходит r = 3.
Пусть ∠BAC = α, тогда:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |