Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что (опи­ра­ют­ся на диа­мет­ры), сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник CEDB  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция (см. левый рис.). Пусть точка O₂  — центр ω₂, точка P  — се­ре­ди­на MN, тогда от­ре­зок O₂P яв­ля­ет­ся вы­со­той рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка MO₂N. От­рез­ки O₂P и MN вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и от­рез­ки O₂P и CE па­рал­лель­ны, зна­чит, точка P  — се­ре­ди­на от­рез­ка ED. Сле­до­ва­тель­но, что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся ω в точке O₃ и имеет ра­ди­ус r (см. пра­вый рис.). Ис­поль­зуя тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков O₁O₂O₃ и OO₂O₃, най­дем в каж­дом из них ко­си­нус их об­ще­го угла O₂ и при­рав­ня­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В пунк­те б) можно было иначе при­ме­нить тео­ре­му ко­си­ну­сов: ко­си­нус смеж­ных углов O₁OO₃ и O₂OO₃ про­ти­во­по­лож­ны, по­это­му

тогда