PDF-версии: 
Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA.
а) Докажите, что центр шара лежит в плоскости, перпендикулярной ребру AC
и проходящей через его середину.
б) Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.
Решение. а) Пусть точка О — центр шара, R — его радиус. Прямая OB перпендикулярна плоскости основания пирамиды, поэтому OB образует прямые углы с прямыми AB и BC. Значит,
Отсюда центр шара равноудален от концов отрезка AC, а значит лежит на плоскости, проходящей через середину AC и перпендикулярной ему. Что и требовалось доказать.
б) Пусть шар касается ребра SA в точке G. Шар касается плоскости основания, поэтому его центр — точка O — лежит на прямой, проходящей через точку B перпендикулярно ABC. Расстояния от точки O до плоскости основания и до ребра прямой AS равно радиусу шара: 
По свойству проведенных из одной точки касательных к шару: 
SG = 1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник OGS прямоугольный. По теореме Пифагора найдем квадрат его гипотенузы: 
Проведем высоту пирамиды SH. Точка H — центр основания, поэтому
Из прямоугольного треугольника ВSH находим: 
Отрезки SH и OB перпендикуляры плоскости АВС, поэтому они параллельны между собой, а значит, четырехугольник BOSH — прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту OL, тогда
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OLS получаем: 
то есть
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |