PDF-версии: 
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Докажите, что угол BA1C1 больше угла BAC.
б) Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C.
Решение. а) Заметим, что угол BAC ― линейный угол двугранного угла при ребре AA1. Тогда по теореме косинусов
Пусть высота призмы равна h. Тогда из теоремы косинусов
Поэтому угол BA1C1 больше угла BAC, что и требовалось доказать.
б) ABCA1B1C1 ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, поэтому расстояние между боковыми ребрами 
Пусть отрезок AH ― высота треугольника ABC (см. рис.). Высота AH перпендикулярна стороне BC, а высота AH перпендикулярна ребру BB1, поэтому высота AH перпендикулярна плоскости (BC1C), и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой AA1 до параллельной ей плоскости BC1C.
Рассматривая треугольник ABC, находим:
Тогда
Таким образом, расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C равно
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |