РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 510947 Добавить в вариант

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2

Стереометрическая задача. Круглые тела: цилиндр, конус, шар

Точка О  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что $\angle BAC плюс \angle AKC={90 градусов.$

а)  Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 12, а $косинус \angle BAC=0,6.$

Решение. а)  Пусть $\angle A= альфа ,$ тогда $\angle BOC=2 альфа ,\angle BOH= альфа ,$ где H  — проекция О на BC. Поэтому $\angle OBH =90 градусов минус альфа .$ Из условия $\angle BAC плюс \angle AKC=90 градусов,$ следует, что $\angle AKC=90 градусов минус альфа .$ Тогда $\angle OBH=\angle AKC$ (опираются на хорду ОС). Тогда по признаку, связанным со свойством вписанных углов, точки О, В, К, С лежат на одной окружности, ч. т. д.

б)   $косинус \angle BAC=0,6,$ тогда $синус \angle BAC=0,8.$ Рассмотрим $\Delta ABC:$ $дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle BAC конец дроби =2R,BC=2 умножить на 12 умножить на 0,8=19,2.$ Из пункта а) $\angle A= альфа ,\angle BOC=2 альфа ,$ тогда $\angle BKC=180 градусов минус 2 альфа ,$ так как четырехугольник OBKC вписанный. $синус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка = синус 2 альфа =2 синус альфа умножить на косинус альфа ,$ тогда $синус \angle BKC=2 умножить на 0,8 умножить на 0,6=0,96.$ Рассмотрим треугольник KBC:

$дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle BKC конец дроби =2R,$ $R= дробь: числитель: 19,2, знаменатель: 2 умножить на 0,96 конец дроби =10.$

Ответ:10.

----------

Дублирует задание 509123.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 10.

510947

10.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510947	10.