Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел 
равно 
Оказалолсь, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
а) Заметим, что если рейтинг кинофильма — целое число, то произведение оценок двух экспертов — точный квадрат. Произведение двух чисел от 1 до 10 не превосходит 90. Под это условие попадают квадраты чисел от 1 до 9. Но числа 1, 25, 49, 64 и 81 не представляются в виде произведения двух различных целых чисел от 1 до 10. Значит, для двух экспертов может быть не более четырёх кинофильмов.
б) Допустим кинофильмы получили такие наборы оценок: (1; 2 4), (2; 4; 8), (1; 3; 9), (4; 6; 9). Тогда среднее геометрическое этих наборов — различные целые числа. Условие задачи выполняется.
в) Если кинофильм получил оценки (3; 6; 8; 9), то условие задачи выполняется. Если экспертов больше четырёх, то произведение их оценок делится на a5, где a — рейтинг кинофильма. Произведение всех возможных оценок 10! делится только на 15 и 2^5. Значит, целый рейтинг может равняться только 1 и 2 соответственно. Но среди чисел от 1 до 10 только одна степень единицы и четыре степени двойки. Значит, экспертов не могло быть более четырёх. Таким образом, наибольшее возможное число экспертов — это 4.
Ответ: а) нет; б) да; в) 4.
----------
Дублирует задание 505433.