РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму  — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма  — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел $a_1,...,a_n$ равно $корень n степени из: начало аргумента: a_1 умножить на ...a_n конец аргумента .$ Оказалолсь, что рейтинги всех кинофильмов  — это различные целые числа.

а)  Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б)  Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в)  При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Решение. а)  Заметим, что если рейтинг кинофильма  — целое число, то произведение оценок двух экспертов  — точный квадрат. Произведение двух чисел от 1 до 10 не превосходит 90. Под это условие попадают квадраты чисел от 1 до 9. Но числа 1, 25, 49, 64 и 81 не представляются в виде произведения двух различных целых чисел от 1 до 10. Значит, для двух экспертов может быть не более четырёх кинофильмов.

б)  Допустим кинофильмы получили такие наборы оценок: (1; 2 4), (2; 4; 8), (1; 3; 9), (4; 6; 9). Тогда среднее геометрическое этих наборов  — различные целые числа. Условие задачи выполняется.

в)  Если кинофильм получил оценки (3; 6; 8; 9), то условие задачи выполняется. Если экспертов больше четырёх, то произведение их оценок делится на a⁵, где a  — рейтинг кинофильма. Произведение всех возможных оценок 10! делится только на 1⁵ и 2^⁵. Значит, целый рейтинг может равняться только 1 и 2 соответственно. Но среди чисел от 1 до 10 только одна степень единицы и четыре степени двойки. Значит, экспертов не могло быть более четырёх. Таким образом, наибольшее возможное число экспертов  — это 4.

Ответ: а) нет; б) да; в) 4.

----------

Дублирует задание 505433.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510877	а) нет; б) да; в) 4.

Ключ