а)  Число 8 яв­ля­ет­ся сум­мой че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. На­при­мер, 8  =  − 1 + 1 + 3 + 5.

б)  Пусть число 1 яв­ля­ет­ся сум­мой пер­вых k чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном а и раз­но­стью d. Тогда

Зна­чит, число k  — де­ли­тель 2, что про­ти­во­ре­чит усло­вию

в)  Любое на­ту­раль­но число яв­ля­ет­ся сум­мой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии со­сто­я­щей из чле­нов. Если за­ме­нить все члены этой про­грес­сии на про­ти­во­по­лож­ные, то по­лу­чит­ся ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из 2n чле­нов, сумма ко­то­рой равна −n.

В преды­ду­щем пунк­те мы по­ка­за­ли, что S не может рав­нять­ся 1. Ана­ло­гич­но можно по­ка­зать, что S не может рав­нять­ся −1. Число S может рав­нять­ся 0, на­при­мер, для про­грес­сии −1; 0; 1. Таким об­ра­зом, S может при­ни­мать любые целые зна­че­ния, кроме −1 и 1.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  любые целые зна­че­ния, кроме −1 и 1.