РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.

а)  Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 24.

б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Решение. а)  Любое сечение шара плоскостью  — это круг, причем радиус этого круга не превосходит радиуса самого шара. Тогда из условия следует, что $Пи R в квадрате больше или равно 6,$ где R  — радиус меньшего шара. Тогда площадь его поверхности, равная $4 Пи R в квадрате ,$ не меньше чем 24. Что и требовалось доказать.

б)  Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов.

Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке. Отрезок FD  — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью  α, тогда $S_ альфа = Пи умножить на FD в квадрате = 6$   — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.

Отрезок AB  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью  β, тогда $S_ бета = Пи умножить на AB в квадрате = 4$   — площадь сечения большего шара плоскостью β.

Отрезок CF  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α. Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем:

$OF в квадрате = OC в квадрате минус CF в квадрате = OD в квадрате минус FD в квадрате ,$

откуда

$CF в квадрате = OC в квадрате минус OD в квадрате плюс FD в квадрате = OB в квадрате минус OA в квадрате плюс FD в квадрате = AB в квадрате плюс FD в квадрате .$

Площадь сечения большего шара плоскостью α:

$S = Пи умножить на CF в квадрате = Пи умножить на AB в квадрате плюс Пи умножить на FD в квадрате =10.$

Ответ: б) 10.

Приведем решение Дмитрия Сузана.

а)  Пусть радиус меньшего шара равен r, радиус большего шара равен R. Площадь сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии где h от центра шара $левая круглая скобка h меньше или равно R правая круглая скобка$ равна $Пи левая круглая скобка R в квадрате минус h в квадрате правая круглая скобка .$ Плоскость α находится от центра шара на расстоянии $h_1,$ плоскость β находится на расстоянии расстояние r. Из условий имеем:

$Пи левая круглая скобка r в квадрате минус h_1 в квадрате правая круглая скобка =6, \quad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$Пи левая круглая скобка R в квадрате минус r в квадрате правая круглая скобка =4, \quad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Умножим (1) на 4, раскроем скобки, получим: $4 Пи r в квадрате =24 плюс 4 Пи h_1 в квадрате .$ В левой части стоит площадь поверхности малого шара, в правой части  — число, не меньшее 24. Утверждение а) доказано.

б)  Сложим (1) и (2), получим: $Пи левая круглая скобка R в квадрате минус h_1 в квадрате правая круглая скобка =10.$ В левой части стоит площадь сечения большего шара плоскостью α.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510787	б) 10.

Ключ