PDF-версии: 
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.
а) Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 32.
б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Решение. а) Любое сечение шара плоскостью — это круг, причем радиус этого круга не превосходит радиуса самого шара. Тогда из условия следует, что 
где R — радиус меньшего шара. Тогда площадь его поверхности, равная 
не меньше чем 32. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями
Отрезок FD — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда 
— площадь сечения меньшего шара плоскостью α.
Отрезок AB — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда 
— площадь сечения большего шара плоскостью β.
Отрезок CF — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α.
Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем:
откуда
Площадь сечения большего шара плоскостью α:
Ответ: б) 13.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |