Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:3. Найдите синус угла A.
Пусть BD = x, тогда по условию DC = 3x. Поскольку D — точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах, ∠ADB = ∠ADC = 90°, значит, точки B, C и D лежат на одной прямой.
В прямоугольном треугольнике ACD угол ∠C = 30°, откуда 
В прямоугольном треугольнике ABD 
Возможны два случая. Первый случай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точками D и C, значит, BC = DC − BD = 2x. В треугольнике ABC имеем: AB = BC = 2x, значит, он равнобедренный с основанием AC, следовательно, ∠A = ∠C = 30°, откуда 
Второй случай: угол ABC острый (рис. 2), тогда точка D лежит между точками B и C, значит, BC = DC + BD = 4x.
По теореме синусов для треугольника ABC:
откуда 
Ответ: 
или 1.