РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 509518 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 100

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Сложные задачи с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство $x в квадрате плюс 2|x минус a| минус 4x\leqslant минус a$ имеет единственное целочисленное решение. Для найденных значений a выпишите это решение.

Решение. Разберем два случая.

1)   $x больше или равно a.$ Тогда неравенство принимает вид $x в квадрате минус 2x меньше или равно a,$ то есть $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно a плюс 1.$

Если $a меньше минус 1,$ то решений нет.

Если $a= минус 1,$ то единственное решение $x=1,$ и оно подходит в условие $x больше или равно a.$

Если $a принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка ,$ то единственное целое решение $x=1,$ и оно подходит.

Если $a=0,$ то есть три подходящих целых решения $x=0;1;2.$

Если $a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка ,$ то есть два подходящих целых решения $x=1;2.$ Если $a принадлежит левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка ,$ то есть одно подходящее целое решение $x=2.$

Если $a принадлежит левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка ,$ то подходящих целых решений нет.

Если $a=3,$ то единственное подходящее решение $x=3.$

Если же $a больше 3,$ то $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка плюс 1 больше a плюс 1$ и решений нет.

2)   $x меньше a.$ Тогда неравенство принимает вид $x в квадрате минус 6x меньше или равно минус 3a,$ то есть $левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно минус 3a плюс 9.$

Если $a больше 3,$ то решений нет.

Если $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; 3 правая квадратная скобка ,$ то единственное целое решение $x=3,$ и оно не подходит в условие $x меньше a.$

Если $a принадлежит левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ,$ то $1 меньше или равно минус 3a плюс 9 меньше 4,$ поэтому есть целые решения $x=2;3;4,$ из которых подходит только $x=2.$

Если $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка ,$ то подходящих решений нет.

Если $a принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ,$ то $4 меньше или равно минус 3a плюс 9 меньше 9,$ поэтому есть целые решения $x=1;2;3;4;5,$ из которых подходит только $x=1$ при $a принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Если $a=0,$ то есть целые решения $x=0;1;2;3;4;5;6,$ но они все не подходят.

Наконец, при $a меньше 0$ имеем $x в квадрате минус 6x больше минус 6a больше минус 3a$ при $x меньше a,$ поэтому решений нет.

Осталось отобрать те значения a, при которых в сумме в двух случаях ровно одно решение. Это будут $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$

Ответ: при $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка x=1,$ при $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка x=2,$ при $a=3x=3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

509518

при $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка x=1,$ при $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка x=2,$ при $a=3x=3.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 100

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509518	при $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка x=1,$ при $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка x=2,$ при $a=3x=3.$