PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна 
Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой АВ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если АВ = 
Решение. а) Отметим середины AB и CD (назовем их E и F) и проведем плоскость через них и точку S. Сечение сферы этой плоскостью дает окружность, вписанную в соответствующий треугольник. Построим отдельно копию этого треугольника 
его вписанную окружность, отметим ее "верхнюю" точку (ближайшую к 
) построим прямую, проходщую через точку касания окружности со стороной 
и эту точку (назовем ее 
Она пересечет 
в некоторой точке 
Теперь на исходном рисунке отметим точку K, делящую SF в том же отношении, в котором 
делит 
Проведем через нее прямую, параллельную CD, через исходную точку касания — прямую, параллельную AB, отметим их точки пересечения с боковыми ребрами и соединим. Полученная трапеция и будет сечением.
б) Сразу отметим, что прямая, соединяющая точку K с точкой касания лежит в плоскости SEF, перпендикулярной AB, поэтому будет высотой в трапеции. Основания же трапеции относятся к стороне квадрата так же, как отрезки от S до точки касания или до K относятся к апофемам SE и SF. Теперь перейдем к вычислениям.
В треугольнике SEF имеем 
Поэтому треугольник равносторонний, вписанная окружность касается SE в середине SE (назовем ее L), а точка, ближайшая к S и лежащая на окружности (назовем ее 
) делит высоту пирамиды в отношении 
считая от S.
Проведем медиану ET. Она делит высоту пирамиды в отношении 
считая от вершины (пусть в точке O). Поэтому прямая 
является средней линией в треугольнике ESO, то есть она параллельна ET. Значит, K — середина ST, то есть 
Наконец, 
Значит, площадь сечения равна
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |