PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.
Решение. Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство 
должно выполняться на всем промежутке 
То есть
Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства:
(верно при 
),
(верно при 
),
(верно при 
).
при 
то есть при 
(нас не интересует, поскольку уже установлено, что 
при 
то есть при 
(то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).
Итак, совмещая все ограничения, получаем 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. ИЛИ Установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |