Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем не­ко­то­рые огра­ни­че­ния на x. За­ме­тим, что при любом x при­над­ле­жит R x в квад­ра­те минус 4x плюс 5= левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 боль­ше 0 левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Кроме того, долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия: x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 не равно 1 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те не равно 0 рав­но­силь­но x не равно 2 левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 боль­ше 0 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 боль­ше 0 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни x мень­ше минус 4 или 3 в сте­пе­ни x боль­ше 3 рав­но­силь­но x боль­ше 1 левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

В ло­га­риф­ме пра­вой части не­ра­вен­ства пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 3.

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: \dfrac ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

Од­на­ко, вы­ра­же­ние ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка стро­го по­ло­жи­тель­но при любом зна­че­нии x, от­лич­ном от 2. (Зна­че­ниеx=2 в дан­ном не­ра­вен­стве из рас­смот­ре­ния ис­клю­ча­ет­ся, см. огра­ни­че­ние (2)). Дей­стви­тель­но,

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 боль­ше 1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0,

вы­пол­не­но все­гда при x\not=2.

В таком слу­чае мы впра­ве раз­де­лить обе части не­ра­вен­ства (4) на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­лу­чим: дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 1. Так как x боль­ше 1 (огра­ни­че­ние (3)), то спра­вед­ли­ва си­сте­ма не­ра­венств:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 , новая стро­ка 2x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 1 , новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни x минус 13 боль­ше 0 , новая стро­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни x минус 12 . конец си­сте­мы .

Для ре­ше­ния по­след­ней си­сте­мы сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ной. Пусть 3 в сте­пе­ни x =t,t боль­ше 0, тогда:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка t в квад­ра­те плюс t минус 13 боль­ше 0 , новая стро­ка t минус 12 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t мень­ше дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 52 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка t боль­ше дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . новая стро­ка t мень­ше или равно 12 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше t мень­ше или равно 12.

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x.

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 3 в сте­пе­ни x мень­ше или равно 12 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 3 в сте­пе­ни x мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 12 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 4 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2.

Те­перь до­ка­жем, что 1 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 (в со­от­вет­ствии с (2) и (3)).

1 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 3 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше { ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 9 рав­но­силь­но 3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 9 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 6 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1 мень­ше 9 рав­но­силь­но 7 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та мень­ше 10 рав­но­силь­но 49 мень­ше 53 мень­ше 100

Ре­ше­ния ис­ход­но­го не­ра­вен­ства  — мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025