РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508657 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 102

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 2x, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Найдем некоторые ограничения на x. Заметим, что при любом $x принадлежит R$ $x в квадрате минус 4x плюс 5= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше 0 левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Кроме того, должны выполняться условия: $x в квадрате минус 4x плюс 5 не равно 1 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате не равно 0 равносильно x не равно 2 левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

$9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 больше 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 больше 0 равносильно 3 в степени x меньше минус 4$ или $3 в степени x больше 3 равносильно x больше 1 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

В логарифме правой части неравенства перейдем к основанию 3.

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 2x, знаменатель: \dfrac логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 2x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 2x, знаменатель: \dfrac логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 2x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

Однако, выражение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка$ строго положительно при любом значении x, отличном от 2. (Значение $x=2$ в данном неравенстве из рассмотрения исключается, см. ограничение (2)). Действительно,

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка больше 0 равносильно x в квадрате минус 4x плюс 5 больше 1 равносильно x в квадрате минус 4x плюс 4 больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0,$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка больше 0 равносильно x в квадрате минус 4x плюс 5 больше 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 4x плюс 4 больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0,$

выполнено всегда при $x\not=2.$

В таком случае мы вправе разделить обе части неравенства (4) на $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка .$

Получим: $дробь: числитель: 2x, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 1.$ Так как $x больше 1$ (ограничение (3)), то справедлива система неравенств:

$система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка больше 0 , новая строка 2x больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 1 , новая строка логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 13 больше 0 , новая строка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 . конец системы .$ $система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка больше 0 , новая строка 2x больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 1 , новая строка логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 13 больше 0 , новая строка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 . конец системы .$ $система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка больше 0 , новая строка 2x больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 в степени x плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 1 , новая строка логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 13 больше 0 , новая строка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x минус 12 . конец системы .$

Для решения последней системы сделаем замену переменной. Пусть $3 в степени x =t,t больше 0,$ тогда:

$система выражений новая строка t в квадрате плюс t минус 13 больше 0 , новая строка t минус 12 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений новая строка t меньше дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 1 плюс 52 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка t больше дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . новая строка t меньше или равно 12 конец совокупности . равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше t меньше или равно 12.$

Перейдем к переменной x.

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 3 в степени x меньше или равно 12 равносильно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше 3 в степени x меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 12 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 умножить на 4 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1 плюс 2 логарифм по основанию 3 2.$

Теперь докажем, что $1 меньше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 2$ (в соответствии с (2) и (3)).

$1 меньше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 2 равносильно логарифм по основанию 3 3 меньше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше { логарифм по основанию 3 9 равносильно 3 меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 9 равносильно$ $1 меньше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 3 меньше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше { логарифм по основанию 3 9 равносильно 3 меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 9 равносильно$

$равносильно 6 меньше корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1 меньше 9 равносильно 7 меньше корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента меньше 10 равносильно 49 меньше 53 меньше 100$

Решения исходного неравенства  — множество $левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;1 плюс 2 логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;1 плюс 2 логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

508657

$левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 53 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;1 плюс 2 логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$