Ре­ше­ние. На пер­вый взгляд, пред­став­ля­ет­ся прав­до­по­доб­ным сле­ду­ю­щее ре­ше­ние.

а)  Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем по­это­му в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

б)  При раз­би­е­нии четырёхуголь­ни­ка диа­го­на­ля­ми на 4 тре­уголь­ни­ка пло­ща­ди их та­ко­вы, что (*). Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр каж­до­го из дан­ных тре­уголь­ни­ков, тогда из (*) по­лу­ча­ем: от­ку­да на­хо­дим ис­ко­мый ра­ди­ус: (Из­вест­ное свой­ство (*) не­труд­но до­ка­зать, поль­зу­ясь тем, что пло­щадь каж­до­го из тре­уголь­ни­ков равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус за­клю­чен­но­го между ними угла.)

Ответ: 4,5.

Но на самом деле всё не так.

Дей­стви­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOB и BOC имеют общую вы­со­ту, по­это­му

Ана­ло­гич­но, BO : DO = 2 : 3. Сле­до­ва­тель­но, AO < CO, BO < DO, и по­это­му AB < CD. Зна­чит, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AOB мень­ше пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка COD. Опи­сан­ная в усло­вии кон­фи­гу­ра­ция не су­ще­ству­ет. Можно про­ве­рить, что если пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков равны, то ис­ход­ный четырёхуголь­ник  — ромб. Тогда ра­ди­у­сы впи­сан­ных окруж­но­стей также равны друг другу.