РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508198 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _4x2x минус \log _2x в квадрате 4x в квадрате больше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение. В логарифмах перейдем к основанию 2.

$\log _4x2x минус \log _2x в квадрате 4x в квадрате больше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: \log _22x, знаменатель: \log _24x конец дроби минус дробь: числитель: \log _24x в квадрате , знаменатель: \log _22x в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: \log _2x плюс 1, знаменатель: \log _2x плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2\log _2x плюс 2, знаменатель: 2\log _2x плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0.$ $\log _4x2x минус \log _2x в квадрате 4x в квадрате больше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: \log _22x, знаменатель: \log _24x конец дроби минус дробь: числитель: \log _24x в квадрате , знаменатель: \log _22x в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _2x плюс 1, знаменатель: \log _2x плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2\log _2x плюс 2, знаменатель: 2\log _2x плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0.$ $\log _4x2x минус \log _2x в квадрате 4x в квадрате больше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _22x, знаменатель: \log _24x конец дроби минус дробь: числитель: \log _24x в квадрате , знаменатель: \log _22x в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _2x плюс 1, знаменатель: \log _2x плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2\log _2x плюс 2, знаменатель: 2\log _2x плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0.$

Пусть $\log _2x=t,$ тогда

$дробь: числитель: t плюс 1, знаменатель: t плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2t плюс 2, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате плюс 2t плюс 4t плюс 2 минус 4t в квадрате минус 8t минус 4t минус 8 плюс 6t в квадрате плюс 15t плюс 6, знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: t плюс 1, знаменатель: t плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2t плюс 2, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате плюс 2t плюс 4t плюс 2 минус 4t в квадрате минус 8t минус 4t минус 8 плюс 6t в квадрате плюс 15t плюс 6, знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 6t в квадрате плюс 9t, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Решим это неравенство методом интервалов.

Интервалы	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$
Знак рационального выражения	+	−	+	−	+

Итак, $t меньше минус 2, минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;t больше или равно 0.$

Перейдем к переменной x. $\log _2x меньше минус 2 равносильно \log _2x меньше \log _2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

$минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно \log _2x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно \log _22 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно \log _2x меньше \log _22 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$\log _2x больше или равно 0 равносильно x больше или равно 1.$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

508198

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508198	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$