ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 508189 Добавить в вариант

В ряд выписаны натуральные числа: $1 в квадрате ,2 в квадрате ,..., левая круглая скобка N минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,N в квадрате .$ Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «–» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

А)  4, если N = 12;

Б)  0, если N = 13;

В)  0, если N = 16;

Г)  5, если N = 18?

Спрятать решение

Решение.

а)  Несложно убедиться, что $1 в квадрате минус 2 в квадрате минус 3 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 5 в квадрате плюс 6 в квадрате плюс 7 в квадрате минус 8 в квадрате плюс 9 в квадрате минус 10 в квадрате минус 11 в квадрате плюс 12 в квадрате =4.$

б)  Заметим, что складывается 7 нечетных и 6 четных чисел (некоторые из них, возможно отрицательные). Результат такого сложения не может делиться на 2. Поэтому ноль получиться не может.

в)  Используя пункт а), несложно убедиться, что $1 в квадрате минус 2 в квадрате минус 3 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 5 в квадрате плюс 6 в квадрате плюс 7 в квадрате минус 8 в квадрате плюс 9 в квадрате минус$
$минус 10 в квадрате минус 11 в квадрате плюс 12 в квадрате минус 13 в квадрате плюс 14 в квадрате плюс 15 в квадрате минус 16 в квадрате =0.$

г)  Используя последовательность знаков из пунктов а) и б), и заметив, что $1 в квадрате плюс 2 в квадрате =5,$ получим: $1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате минус 4 в квадрате минус 5 в квадрате плюс 6 в квадрате минус 7 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 9 в квадрате минус 10 в квадрате плюс$
$плюс 11 в квадрате минус 12 в квадрате минус 13 в квадрате плюс 14 в квадрате минус 15 в квадрате плюс 16 в квадрате плюс 17 в квадрате минус 18 в квадрате =0.$

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 104

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь