PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных действительных корня.
Решение. В контексте данной задачи ограничений на х не просматриваются, а на значения параметра а они видны. Найдем их.
Преобразуем заданное уравнение так:
Пусть 
Тогда заданное уравнение примет вид:
Заметим: при 
будет выполнено неравенство 
и так как 
то и 
Кроме того, левая часть равенства (*) представляет из себя произведение двух положительных и строго возрастающих функций. Правая часть — аналогично произведение двух положительных и строго возрастающих функций.
Между переменными u и υ может быть только одно из трех отношений: либо 
либо 
либо 
Если то в соответствии со сказанным выше получим:
что невозможно.
Если же 
то
что также невозможно.
Значит, верно единственное отношение: 
Таким образом, мы приходим к результату: 
Это значит, что
Таким образом, допустимые значения параметра а, по сравнению с указанным выше, сузились до отрезка 
Теперь рассмотрим уравнение
Приведем его к виду:
Исследуем уравнение 
на количество действительных корней.
В зависимости от значений t количество корней у уравнения 
будет различным.
Итак, 
Если 
что имеет место при 
то уравнение будет равносильным уравнению 
которые имеет ровно два различных корня.
Следовательно, при 
т. е. при 
или 
исходное уравнение также имеет два различных корня.
Если же 
то
Из системы (**) ясно, что при 
уравнение 
решений иметь не будет, тогда как уравнение 
будет иметь ровно два действительных корня.
Следовательно, при выполнении условия
Полученный результат свидетельствует о том, что при 
исходное уравнение имеет два различных действительных корня.
Вернемся к системе вновь (**) и заметим, что при 
и первое уравнение, и второе уравнение совокупности (дизъюнкции двух предикатов) будет иметь ровно по 2 различных действительных корня.
А это значит, что при 
исходное уравнение имеет более двух действительных корней.
Отметим также, что полученные значения параметра а являются подмножествами множества допустимых значений для параметра, полученных выше.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |