Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 508186
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 7x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Огра­ни­че­ния на x: 0 мень­ше x мень­ше 1,1 мень­ше x мень­ше 3. При вы­пол­не­нии этих не­ра­венств также будет вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства 4 минус x боль­ше 0,x в квад­ра­те минус 7x плюс 12 боль­ше 0, так как x в квад­ра­те минус 7x плюс 12= левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

В даль­ней­шем мы будем рас­смат­ри­вать за­дан­ное не­ра­вен­ство толь­ко на мно­же­стве M= левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

На M:

\log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 7x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше или равно 0.

Пусть \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =u, \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = v .

Тогда:

u умно­жить на v минус u минус v плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка u умно­жить на v минус u пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но u левая круг­лая скоб­ка v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка u минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка v минус 1 боль­ше или равно 0, новая стро­ка u минус 1 боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка v минус 1 мень­ше или равно 0, новая стро­ка u минус 1 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка v боль­ше или равно 1, новая стро­ка u боль­ше или равно 1, конец си­сте­мы . новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка v мень­ше или равно 1, новая стро­ка u мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Рас­смот­рим два слу­чая:

1)  Если 0 мень­ше x мень­ше 1, то минус 1 мень­ше минус x мень­ше 0,3 мень­ше 4 минус x мень­ше 4,2 мень­ше 3 минус x мень­ше 3.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше 1 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше 1 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше 1 , новая стро­ка 4 минус x мень­ше или равно x , новая стро­ка 3 минус x мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы .

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше 1 , новая стро­ка 4 минус x боль­ше или равно x , новая стро­ка 3 минус x боль­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше 1 , новая стро­ка x боль­ше или равно 2 , новая стро­ка x боль­ше или равно 1,5 конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше 1 , новая стро­ка x мень­ше или равно 2 , новая стро­ка x мень­ше или равно 1,5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше 1.

2)   Если же 1 мень­ше x мень­ше 3, то минус 3 мень­ше минус x мень­ше минус 1,1 мень­ше 4 минус x мень­ше 3,0 мень­ше 3 минус x мень­ше 2.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 , новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка 4 минус x боль­ше или равно x , новая стро­ка 3 минус x боль­ше или равно x конец си­сте­мы .

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка 4 минус x мень­ше или равно x , новая стро­ка 3 минус x мень­ше или равно x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка 2x мень­ше или равно 4 , новая стро­ка 2x мень­ше или равно 3 конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка 2x боль­ше или равно 4 , новая стро­ка 2x боль­ше или равно 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка x мень­ше или равно 1,5 конец си­сте­мы .

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 1 мень­ше x мень­ше 3 , новая стро­ка x боль­ше или равно 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше или равно 1,5 или 2 мень­ше или равно x мень­ше 3.

Итак, ответ к за­да­че: левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;1,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;1,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2:3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025